Hajítások

Függőleges hajítás

A függőleges hajítás kezdősebessége függőleges. A test ilyenkor egyrészt egyenes vonalú egyenletes mozgást végez a kezdősebességtől függően felfelé vagy lefelé, másrészt egyenes vonalú egyenletesen változó mozgással esik lefelé. E két mozgás összege egy függőleges pályán végbemenő, egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás lesz.

Függőleges hajítás felfelé

Felfelé történő hajításnál a test először emelkedik, majd a maximális magasság elérése után mindaddig süllyed, amíg el nem éri a talajt (vagy bele nem ütközik valamibe). Ha a talaj nem vízszintes, akkor előfordulhat, hogy a test a kiindulási szint alá kerül, azaz az X koordinátája negatívvá válik.

Az emelkedés magassága és a visszatérési sebesség függőleges hajításnál

A hajítás magassága a kiindulási pont és a pálya tetőpontja közti h szintkülönbség. A test emelkedése addig tart, amíg a sebesség 0 nem lesz. Ha az emelkedés időtartamát t_e jelöli, akkor a (1) alapján:

0 = v_0 - g \cdot t_{\mathrm{e}}

Ebből az emelkedés időtartama:

t_{\mathrm{e}} = {v_0 \over g}

Ezt az (2) egyenletbe helyettesítve a hajítás magassága:

h = {v_0^2 \over {2 \cdot g}}

A visszaérkezés időtartama az a t_v időtartam, amely alatt test újra visszaér a kiindulási pontba (x = 0). Az elmozdulásra vonatkozó (2) összefüggés alapján:

0 = v_0 \cdot t_{\mathrm{v}} - {g \over 2} \cdot {t_{\mathrm{v}}^2}

Ebből a visszaérkezés időtartama:

t_{\mathrm{v}} = {2 \cdot v_0 \over g}

A visszaérkezés sebessége az a v sebesség, amellyel a test visszaérkezik a kiindulási szintre. A visszaérkezés időtartamára előzőleg kapott kifejezést az (1) egyenletbe helyettesítve avisszaérkezés sebessége:

v_{\mathrm{v}} = -v_0

Eszerint a visszaérkező test sebessége ugyanakkora, mint a kezdősebesség, de azzal ellentétes irányú. (Mindez összhangban van a mechanikai energia megmaradásának elvével.)

Függőleges hajítás lefelé

Lefelé történő hajításnál a test mindaddig süllyed, amíg el nem éri a talajt (vagy bele nem ütközik valamibe). A mozgás során a test végig a kiindulási szint alatt van, ezért az X koordinátája mindvégig negatív.

A leérkezési idő és a leérkezési sebesség függőlegesen lefelé történő hajításnál

A leérkezési idő az a t_l időtartam, amely alatt a test leérkezik a talajra. Ha az indulási pont h magasságban van a talaj felett, akkor a talajra érkezéskor x = –h, így a (2) alapján:

-h = v_0 \cdot t_{\mathrm{l}} - {g \over 2} \cdot {t_{\mathrm{l}}^2}

Ennek a másodfokú egyenletnek egyetlen pozitív megoldása van, így a leérkezési idő:

t_{\mathrm{l}} = {v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h} \over g}

A leérkezés sebessége az a v_l sebesség, amellyel a talaj felett h magasságban levő pontból ledobott test eléri a talajt. A leérkezési időre előzőleg kapott kifejezést az (1) egyenletbe helyettesítve a leérkezés sebessége:

v_{\mathrm{l}} = - \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h}

A negatív előjel arra utal, hogy a test sebessége az X-tengely irányával ellentétes.